Seno e coseno della somma (o sottrazione) di due angoli: utilizzo e applicazioni nascoste

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Quante formule abbiamo imparato, durante gli anni delle superiori, che non sappiamo come o quando utilizzare? Direi spesso.
Tra le molte ci saranno sicuramente le formule di seno e coseno per la somma (o sottrazione) di due angoli. Ma prima di vedere come queste formule ci possono aiutare a risolvere velocemente certi quesiti dei test d’ammissione, rivediamo le formule!

Formule di addizione e sottrazione di seno e coseno

Siano a e b due angoli, allora:

Formula di addizione del seno: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

Formula di addizione del coseno: cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b)

Formula di sottrazione del seno: sen(a-b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)

Formula di sottrazione del coseno: cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

Applicazione delle formule di addizione e sottrazione di seno e coseno

Raramente nei quesiti dei test d’ammissione di Politecnico, Bocconi e Cattolica troveremo domande semplici quali: “Quanto vale sen(90°+60°)?”. Prima di tutto perché sen(90°+60°) = sen(150°), che è un angolo noto e quindi da sapere a memoria!

Vediamo quindi due esempi dove queste formule ci vengono in aiuto!

Esempio 1

Quanto vale la seguente espressione?

2sin(25°)cos(65°) + 2sin(65°)cos(25°)

Soluzione – Esempio 1

Vediamo che gli angoli di 25° e 65° non sono angoli noti, quindi non sarà possibile semplicemente sostituire i valori corrispondenti di seno e coseno (in quanto non ne conosciamo il valore). Notiamo però tre cose:

1. Possiamo raccogliere un 2, scrivendo quindi: 2 (sin(25°)cos(65°) + sin(65°)cos(25°))
2. L’espressione così ottenuta è molto simile alla formula di addizione del seno: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
3. Infine, notiamo che  25°+65°= 90°

Abbiamo quindi che:

2 x (sin(25°)cos(65°) + sin(65°)cos(25°)) = 2 x sin(25°+65°) = 2 x sin(90°) = 2 x 1 = 2

Quindi, la formula ci ha permesso di risolvere velocemente un quesito altrimenti complesso da risolvere. Ma vediamo ora un’applicazione ancora più interessante.

Esempio 2

Quanto vale la seguente espressione?

cos(40°) + cos(50°)

Soluzione – Esempio 2

Notiamo anche qui che 40° e 50° non corrispondono ad angoli noti. Possiamo però riscrivere questi angoli come 40° = 45° – 5°, mentre 50° = 45° + 5°.

Possiamo quindi riscrivere l’espressione come: cos(40°) + cos(50°) =cos(45°-5°) + cos(45°+5°)

Riconosciamo che qui ci vengono in aiuto le formule di addizione e sottrazione del coseno, da cui ricaviamo che: 

cos(45°-5°) + cos(45°+5°) =cos(45°)cos(5°) – sen(45°)sen(5°) + cos(45°)cos(5°) + sen(45°)sen(5°)

Semplificando, e ricordando che cos(45°) =, otteniamo:

2cos(45°)cos(5°) = 2 x x cos(5°) = cos(5°).

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