Ripasso della parabola per il test d’ingresso TOL, TOLC e TIL-I

Se stai per affrontare il TOL, il TOLC-I o il TIL dei Politecnici di Milano e Torino o di un’altra università di ingegneria, sicuramente non puoi arrivare impreparato sulla parabola e sulle sue proprietà.

Qui facciamo un breve riassunto da memorizzare con tutte le nozioni utili per il test!

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La parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e da una retta, detta direttrice.

La parabola assume due forme nel piano:

• Parabola con asse (x_A) parallelo all’asse delle ordinate e (quindi) direttrice (Y_D) parallela a quello delle ascisse (questo il caso più comune). In questo caso la parabola ha equazione: y = ax² + bx + c, con a, b e c numeri reali e a ≠ 0

• Parabola con asse (y_A) parallelo all’asse delle ascisse e (quindi) direttrice (XD) parallela a quello delle ordinate. In questo caso la parabola ha equazione: x = ay² + by + c, con a, b e c numeri reali e a ≠ 0

Parabola con asse parallelo alle ordinate

Nel caso di parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, y = ax² + bx + c, con a, b e c numeri reali e a ≠ 0, le informazioni da ricordare sono le seguenti:

• Coordinate del vertice V: x_v= -b / 2a,     y_v= – b²-4ac / 4a
• Coordinate del vertice F: x_F= -b / 2a,     y_F= (1 – b² + 4ac) / 4a
• Direttrice: y_D= – (1 + b² – 4ac) / 4a
• Asse: x_A= – b / 2a

Avendo la parabola tre parametri (a, b e c), necessita di al più 3 “informazioni” al fine di poterne determinare l’equazione:

• Il fuoco e la direttrice
• Il vertice e un punto appartenente alla parabola (diverso dal vertice)
• 3 punti qualsiasi appartenenti parabola
• Il fuoco e un punto appartenente alla parabola

Ricordiamo che b² – 4ac viene anche detto (pronunciato delta).

Proprietà della parabola e casi notevoli

Notiamo le seguenti proprietà della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse:

• Δ = b² – 4ac > 0, allora la parabola incontra l’asse delle ascisse in due punti (si annulla in due punti)
• Δ = b² – 4ac = 0, la parabola è tangente all’asse delle ascisse (si annulla in un solo punto)
• Δ = b² – 4ac < 0, la parabola non incrocia l’asse delle ascisse (non si annulla mai)

Notiamo inoltre che:

• Se a > 0, allora la parabola è rivolta verso l’alto (convessa)
• Se a < 0, allora la parabola è rivolta verso il basso (concava)

Infine, notiamo che:

• Se b = 0, allora la parabola ha asse coincidente con l’asse delle ordinate e quindi è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate
• Se c = 0, allora la parabola passa per l’origine degli assi O(0,0)

Per affrontare i quesiti sulla parabola, questo è tutto ciò che devi sapere. Mettiti alla prova con i quiz di Unitest e affronta in tranquillità l’esame!

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