Ripasso delle disequazioni logaritmiche per i test d’ingresso

È quasi il momento del test d’ingresso, ma è un po’ che non ripassi i logaritmi… beh forse è il caso di farlo per non trovarsi impreparati il giorno dell’esame. In questo articolo allora ripassiamo brevemente i logaritmi e vediamo in particolare come risolvere le disequazioni logaritmiche.

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Il logaritmo

Nella sua forma più generica un logaritmo è scritto come:

c = log_ab

c è il valore del logaritmo, a è la base del logaritmo e a è l’argomento del logaritmo. Il logaritmo è un numero e corrisponde all’esponente a cui devo elevare a (la base) per ottenere b (l’argomento), ovvero a^c=b.

Per esempio per sapere a quanto equivale log₂4, devo chiedermi “a cosa devo elevare 2 per ottenere 4?”: la risposta è chiaramente 2. Quindi tale espressione vale 2.

Il logaritmo ha però delle restrizioni, infatti la base a non può essere negativa né pari a 1. Inoltre l’argomento del logaritmo non può essere negativo, infatti non è possibile trovare un esponente per cui un numero positivo a elevato a tale esponente di un numero negativo. Quindi, in breve: a>0 e a≠1 e b>0.

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Le disequazioni logaritmiche

Una disequazione viene detta logaritmica quando all’interno del logaritmo (come base o, più frequentemente, come argomento) è presente l’incognita (normalmente x).

Le disequazioni logaritmiche, nelle forme più basiche, possono presentarsi nei seguenti tipi:

log_ax ≥ b (più frequente)

log_xa ≥ b (molto meno frequente)

Chiaramente il segno della può essere ≥, ≤, > o <. Il fine è trovare per quali valori di x (se ne esistono) la disequazione è soddisfatta

Primo passaggio

Essendo l’incognita alla base o nell’argomento del logaritmo, dobbiamo per prima cosa imporre le condizioni di esistenza (che nel paragrafo sopra abbiamo chiamato restrizioni). Se la x è nell’argomento, dovremo imporre tutto l’argomento strettamente positivo, ossia >0.

Se l’incognita sta alla base, dovrà essere strettamente positivo e anche diverso da 1.

Secondo passaggio

Raramente la disequazione logaritmica si presenterà in una delle sue forme più basiche, ma il nostro intento sarà sempre quello di riportarla a una di quelle forme. Per questo sarà necessario ricordare le principali proprietà del logaritmo. Per questo leggi il nostro articolo.

Terzo passaggio

Una volta arrivato alla sua forma elementare, dobbiamo applicare la seguente proprietà:

c = log_ab ⇒ a^c = b.

Abbiamo però un’accortezza da avere nel caso delle disequazioni, se la base è inferiore a 1 allora quando avverrà il passaggio sopra riportato il segno della disequazione viene invertito (se era > diventa <), se invece è superiore a 1 (più frequente) il verso rimane lo stesso.

Perché avviene questo? Cerchiamo di spiegarlo intuitivamente: essendo il logaritmo il valore dell’esponente a cui devo elevare la base per ottenere l’argomento, se la base è superiore a 1, tanto più è alto è l’argomento tanto più alto dovrà essere l’esponente a cui devo elevare la base per ottenere l’argomento (perché se elevo la base a esponenti sempre crescenti, ottengo numeri sempre più alto). Ma questo non è vero se la base è compresa tra 0 e 1, in questo caso aumentando l’esponente, il numero che ottengo diventa sempre più piccolo! Per esempio, elevando 1/2 all’esponente 2, ottengo 1/4, che è inferiore a 1/2.

Vediamo un paio di esempi:

Esempio 1

La disequazione log₂(x-1)-log₂(3-x) < 2 , è verificata per:

x < 5/2
13/5 < x < 3
x < 13/5 o x > 3
13/5 < x < 3
1 < x < 13/5

Soluzione: E. Come primo passaggio imponiamo, per ciascun logaritmo le condizioni di esistenza, in questo caso degli argomenti. Cioè: x-1 > 0 e 3-x > 0, da cui otteniamo che x > 1 e x < 3. Queste devono essere soddisfatte contemporaneamente perché sono condizioni di esistenza. Quindi le soluzioni possibili devono essere comprese tra 1 e 3. Possiamo già escludere le soluzioni A e C, perché includono anche soluzioni al di fuori delle condizioni di esistenza.

Ora, passiamo al passaggio 2, risolviamo la disequazione. Per le proprietà del logaritmo, essendo nella medesima base, abbiamo log₂((x-1)/(3-x)) < 2 . Riconosciamo che siamo nella forma basica della disequazione logaritmica.

Passiamo ora la passaggio 3, per l’espressione c = log_ab, abbiamo che c = 2, a = 2 e b = (x-1)/(3-x). Essendo la base > 1, non dobbiamo invertire il segno della disequazione. Da cui, (x-1)/(3-x) < 2². Risolvendo otteniamo che x-1 < 4 (3-x), da cui x-1 < 12-4x e 5x < 13 e x < 13/5. Incrociando le condizioni di esistenza con la soluzione trovata abbiamo 1 < x < 13/5.

Esempio 2

Risolviamo la seguente disequazione:

log_1/2(x+1) + log_1/2(6x-2) – log_1/2(5x+1) > log_1/2(4)

Iniziamo dal primo passaggio: le condizioni di esistenza. Imponiamo per tutti gli argomenti la stretta positività, ovvero x+1 > 0, 6x – 2 > 0 e 5x + 1 > 0. Da queste tre disequazioni troviamo che x > -1, x > 1/3, x > -1/5. Vediamo che la seconda è la condizione più stringente, per cui la condizione di esistenza è semplicemente x > 1/3.

Passando al secondo passaggio, troviamo che log_1/2((x+1)(6x-2)/(5x+1)) > log_1/2(4).

Ora che la disequazione logaritmica è nella sua forma elementare, andiamo al terzo passaggio. Siccome la base è inferiore a 1, dobbiamo invertire il verso della disequazione. Notiamo che dall’altra parte non abbiamo un numero “semplice”, ma un logaritmo di un numero noto. Avendo i logaritmi da entrambe le parti, non sarà necessario effettuare il passaggio dell’esempio 1, ma basterà comparare i due argomenti. Quindi troviamo che:

(x+1)(6x-2) / (5x+1) < 4

Da qui troviamo che (x+1)(6x-2) < 4(5x+1), da cui 6x² + 4x – 2 < 20x + 4 e quindi 6x² – 16x – 6 < 0 e 3x² – 8x – 3 < 0. Risolvendo la disequazione di secondo grado troviamo x =-1/3 e x = 3. Essendo il verso della disequazione “<”, le soluzioni sono quelle interne ai due valori, ossia -1/3 < x < 3. I valori tra -1/3 e 1/3 però non soddisfano le condizioni di esistenza, e quindi la disequazione goniometrica è verificata per 1/3 < x < 3.

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