La terza superiore è ormai un ricordo e poco rimane degli esercizi sulla circonferenza. Eppure ecco che li troviamo nei test di ingresso per ingegneria e per facoltà scientifiche, quali il TOL del Politecnico di Milano, il TIL-I del Politecnico di Torino o nel TOLC-I!
Non temere, qui facciamo un breve riassunto da memorizzare con tutte le nozioni utili per il test!
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La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.
La circonferenza è definita da 3 parametri: l’ascissa del centro xc, l’ordinata del centro yc, e il raggio r. Per tale motivo, per determinare univocamente una circonferenza necessitiamo di una delle seguenti combinazioni:
- Le coordinate del centro e il raggio
- Tre punti appartenenti alla circonferenza
- Due punti appartenenti alla circonferenza e il raggio
- Le coordinate del centro e un punto appartenente alla circonferenza
- Due punti appartenenti alla circonferenza e una retta tangente alla circonferenza (con punto di tangenza diverso da uno dei due punti già dati)
- Un punto appartenente alla circonferenza e due rette distinte e tangenti alla circonferenza (con punto di tangenza diverso dal punto già dato)
- Tre rette distinte tangenti alla circonferenza
La circonferenza può essere espressa in forma sintetica: (x-xc)2 + (y-yc)2= r2. Questa forma è particolarmente comoda perché ci aiuta a determinare direttamente le coordinate del centro (xc,yc) e il valore del raggio r.
Un’alternativa è la forma estesa x2 + y2 + ax + by + c = 0. In tal caso, le coordinate del centro sono (-a/2,-b/2) e il valore del raggio è pari a √(a2/4 + b2/4 – c). Questa forma è comoda per impostare sistemi di intersezione, ma è generalmente più scomoda per la rappresentazione della circonferenza nel piano.
Circonferenze notevoli
Consideriamo una circonferenza in forma estesa x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Se a = 0, il centro appartiene all’asse delle ordinate.
Se b = 0, il centro appartiene all’asse delle ascisse.
Se a = 0 e b = 0, la circonferenza ha centro nell’origine degli assi.
Se c = 0, la circonferenza passa per l’origine.
Se a, b, c = 0, la circonferenza si riduce al punto (0,0).
Posizioni relative di due circonferenze
Riportiamo di seguito uno schema che riassume le posizioni che possono assumere due circonferenze nel piano:
Quesito di esempio
Data la circonferenza √3x2 + √3y2 -2x – 2y = 0, nel piano cartesiano ortogonale Oxy, in quanti punti ad ascissa strettamente positiva incontra la retta x = -y?
- (A) 2
- (B) 1
- (C) Nessuno
- (D) 4
- (E) 3
Soluzione: C. Mettendo a sistema la retta la circonferenza, si ottiene l’equazione seguente √3x2 + √3y2 -2x +2x = 0, da cui si ha 2√3x2= 0. Vi sono quindi due punti coincidenti di intersezione (retta tangente) che coincidono con l’origine degli assi. Il punto di tangenza non ha però ascissa strettamente positiva ma nulla, per cui non vi sono punti di intersezione che soddisfano la condizione imposta. Notiamo che la circonferenza ha c = 0, per cui sapevamo che passava dall’origine come la retta; non potevamo però essere certi (senza fare il sistema) che fosse il solo punto di intersezione.
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