Uno tra gli argomenti più temuti dei test del Politecnico di Milano (TOL) e del Politecnico di Torino (TIL) è sicuramente la geometria analitica. Non tanto per la sua difficoltà, ma perché nel momento in cui si fa il test tali argomenti si sono spesso dimenticati. Nelle sezioni che seguono (1) facciamo un ripasso della retta e delle coniche oggetto d’esame e (2) vediamo come risolvere quesiti che richiedono di identificare il luogo geometrico dei punti del piano definito secondo specifiche regole.
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Retta, circonferenza e parabola
Benché ricordiamo che, oltre alla retta, alla circonferenza e alla parabola, vi erano anche ellisse e iperbole, queste non sono in genere oggetto di test.
La retta
La retta è definita in modo implicito nel piano cartesiano tramite l’equazione ax+by+c =0, con a, b e c reali (e almeno uno tra b e c non nullo).
La retta è definito in modo esplicito nel piano cartesiano tramite l’equazione y = mx + q, con m e q reali.
La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.
La circonferenza può essere espressa come (x – x0)2+(y – y0)2 = r2, dove x0,y0 sono le coordinate del centro e r è il raggio.
La parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).
La parabola può essere espressa come y = ax2+bx+c, se la direttrice è parallela all’asse delle ascisse o come x = ay2+by+c se la direttrice è parallela all’asse delle ordinate (si ricordi che direttrice e asse di simmetria sono perpendicolari tra loro). Nel primo caso (direttrice parallela all’asse delle ascisse) l’asse di simmetria ha equazione y = -b/2a.
Esercizi sui luoghi geometrici dei punti del piano
Il numero di esercizi di questo tipo è molto limitato, e nel corso Unitest.app dedicato al TOL potete trovarne la maggior parte. Questo perché le combinazioni di “vincoli” che danno luoghi geometrici noti del punto del piano (o semplicemente deducibili) sono poche!
Questi esercizi sono risolvibili o in modo grafico o in modo analitico.
Modo grafico
Il modo grafico è sicuramente il metodo consigliato per risolvere questo tipo di quesiti. Per tale metodo consigliamo di trovare (qualora possibile!) almeno tre punti nel piano che soddisfano la/e condizione/i dettate dal quesito. Indichiamo tre punti in quanto se prendessimo solo due punti, dedurremmo sempre che il luogo geometrico indicato è una retta (in quanto per due punti possiamo sempre far passare una retta!).
Consideriamo qualche caso studio.
Esempio 1: Luogo geometrico dei punti equidistanti da due circonferenze non coincidenti di ugual raggio.
In questo caso è facilmente notabile che qualsiasi punto equidistante dalle due circonferenze, avendo esse lo stesso raggio, sarà anche equidistante dai due centri. Per cui ogni punto del luogo geometrico sarà distante r (raggio delle due circonferenze) più una certa costante (x, y e z in figura). Graficamente è facilmente dimostrabile che è una retta.
Esempio 2: Luogo geometrico dei punti equidistanti da due circonferenze concentriche di raggio diverso.
Anche qui, disegnandole, si vede che (essendo le due circonferenze concentriche) ogni punto equidistante sarà distante (R+r)/2 (si veda immagine) ossia nel punto medio tra le due circonferenze.
Il luogo dei punti formato è quindi un’ulteriore circonferenza intermedia.
Esempio 3: Luogo geometrico dei punti equidistanti da rette.
Se le rette sono parallele e non coincidenti, si può facilmente vedere graficamente che il luogo dei punti del piano è anch’esso una retta interna alle due rette parallele distante “la metà” della distanza tra le due rette parallele.
Nel caso le rette non siano parallele, il luogo geometrico è costituito dalle due bisettrici (quindi non da una ma da una coppia di rette). In ogni caso il luogo geometrico dei punti dovrà forzatamente passare dal punto di intersezione delle rette (se non parallele).
Metodo analitico
Prendiamo l’esempio 1 soprastante, abbiamo detto che ogni punto che soddisfa la condizione dovrà essere equidistante dai centri delle due circonferenze. Chiamando i due centri C1(x1,y1) e C2(x2,y2); ogni punto P(x,y) del piano che soddisfa il vincolo dovrà essere equidistante dai due punti, quindi (si vedano i passaggi svolti sul foglio e si ricordi che i valori delle coordinate dei centri sono dei numeri reali e non delle incognite):
Il metodo analitico è sicuramente deterministico, ma come si può vedere (anche per una semplice retta!) non sempre ovvio da mettere in pratica. Per tale motivo, difficilmente sarà utilizzato durante la prova.
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